欧式期权定价基本原理及其计算公式

如果 ϵ \epsilon ϵ 服从 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N ( 0 , 1 ) ,则 E [ e m + λ ϵ I I ϵ > a ] = ∫ a ∞ e m + λ ϵ . 2 π e − 欧式期权定价基本原理及其计算公式 ϵ 2 2 E[e^ a>>] = \int_a^\infty e^.\sqrt<2\pi>e^> E [ e m + 欧式期权定价基本原理及其计算公式 λ ϵ I I ϵ > a ​ ] = ∫ a ∞ ​ 欧式期权定价基本原理及其计算公式 e m + λ ϵ . 2 π ​ e 2 − ϵ 2 ​ ,其中 m , λ , a m,\lambda,a m , λ , a 为常数 ，得到： ∫ a ∞ e m + λ ϵ 1 2 π e − ϵ 2 2 欧式期权定价基本原理及其计算公式 d ϵ \int _a^<\infty>e^ \frac<\sqrt<2\pi>>e^>d\epsilon ∫ a ∞ ​ e m + λ ϵ 欧式期权定价基本原理及其计算公式 2 π ​ 1 ​ e − 2 ϵ 2 ​ d ϵ 令 ϵ = x \epsilon = x ϵ = x
⇒ ∫ a ∞ 1 欧式期权定价基本原理及其计算公式 2 π e − ( x − λ ) 2 2 e λ 2 + m \Rightarrow \int _a^ <\infty>\frac<\sqrt<2\pi>>e^\frac<-(x-\lambda)^2>e^<\frac<\lambda>+m> ⇒ ∫ a ∞ ​ 2 π ​ 1 ​ 欧式期权定价基本原理及其计算公式 欧式期权定价基本原理及其计算公式 e 2 − ( x − λ ) 2 ​ e 2 λ ​ + m 令 y = x − λ y = x-\lambda y = x − λ ⇒ ∫ a − λ ∞ 1 2 π e − y 2 2 e λ 2 2 + m d y (0) \Rightarrow \int_^ <\infty>\frac<\sqrt<2\pi>>e^>e^<\frac<\lambda^2 >+m>dy \tag 0 ⇒ ∫ a − λ ∞ ​ 2 π ​ 1 ​ e 2 − y 2 ​ e 2 λ 2 ​ + m d y ( 0 )
所以，式（0）也是服从标准正态分布 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N ( 0 , 1 ) 的
所以原式= e λ 2 2 [ 1 − N ( a − λ ) ] = e λ 2 2 + m N ( λ − a ) e^<\frac<\lambda^2>>[1-N(a-\lambda)] = e^<\frac<\lambda^2>+m >N(\lambda -a ) 欧式期权定价基本原理及其计算公式 欧式期权定价基本原理及其计算公式 e 2 λ 2 ​ [ 1 − N ( a − λ ) ] = e 2 λ 2 ​ + m N ( λ − a )

汇率连动期权的保险精算定价

投资人对外国投资股票时，除了关心外国股价的风险外，也很关注汇率变动的风险。因此投资人应同时对外国股价风险及汇率风险进行避险。此外，尚有不少在外国上市交易的本国金融商品，诸如：在新加坡上市交易的日本Nikkei指数期货；在加拿大多伦多交易的日本Nikkei指数认购权证；在美洲交易所上市的Nikkei指数及认售权证；台积电及联电在美国上市场的ADR等等。这些金融商品的标的物都是在当地国交易，但其衍生性商品却在外国上市交易，以外币计价。因此，对这些汇率连动期权进行评价尤为重要，基于无套利、均衡、完备的市场假设，Reiner(1992)[5]利用复制的思想得到了汇率连动期权的评价公式，但当市场是有套利、非均衡、不完备时，传统的期权定价方法将无法使用。1998年，Mogens Bladt,Tina Hviid Rydberg[2]首次提出期权定价的保险精算方法，其基本思想是：无风险资产（确定的）按无风险利率折现，风险资产（随机的）按期望收益率（定义如(1)）折现，欧式期权的价值等于在期权被执行时股票期末价值按期望收益率折现的现值与执行价（无风险的）按无风险利率折现的现值之差在股票价格实际概率测度下的数学期望。与期权定价的鞅方法相比较，保险精算方法的不同之处在于：计算数学期望所用的概率测度、期权执行的条件以及计算可能损失的方式。在鞅方法下，欧式看涨期权的价格等于期权执行时股票期末价与期权敲定价之差在等价鞅测度下的数学期望。等价鞅测度即为使股票折现价格过程为鞅的概率测度，通常不一定的股票价格过程的实际概率测度。当金融市场是有套利、非均衡（等价鞅测度不存在）或不完备（等价鞅测度存在但不唯一）鞅方法将不能使用。保险精算方法将期权定价问题转化为等价的公平保费确定问题，由于无任何经济假设，所以它不仅对无套利、均衡、完备的市场有效，且对有套利、非均衡、不完备的市场也有效。本文运用此方法对汇率连动期权定价。给出了欧式看涨潮权和看跌期权价格表达式及平价关系。

Mogens bladt和Hian Hviid Rydberg利用公平保费原理将期权定价问题转化为保险问题，其基本思想是：买入一份期权，对方（即此时的期权出售者）在期权有效期内就会承提一定的潜在风险，若要为这一风险加上保险，其保费就是这一期权的价格，也就是用对方所承受风险的大小来衡量其期权价值的大小。有关期权保险精算定价的概念参阅文献[2]。

定义1 价格过程G(t)在[0,1]产生的期望收益率，其中β(t)称为连续复利收益率（股票在t时刻的瞬时收益率）。

欧式期权定价基本原理及其计算公式

1. C = e − r T E Q [ m a x ( S 欧式期权定价基本原理及其计算公式 T − K , 0 ) ] C = e^E^[max(S_T-K,0)] C = e − r T E Q [ m a x ( S T ​ − K , 0 ) ]
又可以写为 C = e − r T E Q [ ( S T 欧式期权定价基本原理及其计算公式 − K ) ] I I S T > = K ] (1) C = 欧式期权定价基本原理及其计算公式 e^E^[(S_T-K)]II_ =K >] \tag 1 C = e − r T E 欧式期权定价基本原理及其计算公式 Q [ ( S T ​ − K ) ] I I S T ​ > = K ​ ] ( 1 )
其中 Q Q Q 表示在风险中性下的利率测度
I I S T 欧式期权定价基本原理及其计算公式 > = K II_= K> I I S T ​ > = K ​ 为示性函数，用来表示 欧式期权定价基本原理及其计算公式 S T S_T S T ​ 和 K K K 之间的关系。

2.现实环境中，股票价格的变动可以用如下公式来描述：
d S 欧式期权定价基本原理及其计算公式 t = μ S t d t + σ S t d w t (2) dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_tdw_t \tag2 d S t ​ 欧式期权定价基本原理及其计算公式 = μ S t ​ d t + σ S t ​ d w t ​ ( 2 )
其中 w t w_t w t ​ 为布朗运动
现实环境下和风险中性环境下，股票价格的变动布朗运动（随机变化部分）的关系如下 w t p + ∫ 0 t θ s d t = w t Q (3) w_t^

+ \int_^ \theta_s d_t = w_t^ \tag3 w t p ​ + ∫ 欧式期权定价基本原理及其计算公式 0 t ​ θ s ​ d t ​ = w t Q ​ ( 3 )

所以，将（2）式带入（3）式中得到在风险中性测度下股票价格的变化公式(常数项不变，照抄即可)：
d S t Q = μ S t d t + σ S t ( d W t Q − θ s d t ) (4) dS_t^ =\mu S_tdt +\sigma S_t(dW_t^-\theta_s dt) \tag4 d S t Q ​ = μ S t ​ d t + σ S t ​ ( d W t Q ​ − θ s ​ d t ) ( 4 )

因为 θ s = μ − r σ \theta_s =\frac<\mu - r> θ s ​ = σ μ − r ​ ,欧式期权定价基本原理及其计算公式 所以
d S t Q = r S t d t + σ S t d W t Q (5) d S_t^ = rS_tdt + \sigma S_t dW_t^ \tag5 d S t Q ​ = r S t ​ d t + σ S t ​ d W t Q ​ ( 5 )
⇒ S t = S 0 e x p ( ( r − 1 2 σ 2 ) t + σ W 欧式期权定价基本原理及其计算公式 t Q ) \Rightarrow S_t = S_0 exp((r-\frac\sigma^2)t + \sigma W_t^) ⇒ S 欧式期权定价基本原理及其计算公式 t ​ = S 0 ​ e x p ( ( r − 2 1 ​ 欧式期权定价基本原理及其计算公式 σ 2 ) t + σ W t Q ​ )

因为 d w t = ϵ T dw_t = \epsilon \sqrt d w t ​ = ϵ T

​ ,其中 欧式期权定价基本原理及其计算公式 ϵ \epsilon ϵ 服从正态分布，T为时间，所以 ⇒ S T = S 0 e x p [ ( 欧式期权定价基本原理及其计算公式 r − 1 2 σ 2 ) T + σ ϵ T ] (6) \Rightarrow 欧式期权定价基本原理及其计算公式 S_T = S_0 exp[(r-\frac\sigma^2)T + \sigma \epsilon \sqrt] \tag 6 ⇒ S T ​ = S 0 ​ e x p [ ( r − 2 1 ​ σ 2 ) T + σ ϵ T

如果 ϵ \epsilon ϵ 服从 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N ( 0 , 1 ) ,则 E [ e m + λ ϵ I I ϵ > a ] = ∫ a ∞ e m + 欧式期权定价基本原理及其计算公式 λ ϵ . 2 π e − ϵ 2 2 E[e^ a>>] = \int_a^\infty e^.\sqrt<2\pi>e^> E [ e m + λ ϵ I I ϵ > a ​ 欧式期权定价基本原理及其计算公式 欧式期权定价基本原理及其计算公式 ] = ∫ a ∞ ​ e m + λ ϵ . 2 π ​ e 2 − ϵ 2 ​ ,其中 m , λ , a m,\lambda,a m , λ , a 为常数 ，得到： ∫ a ∞ e m + λ ϵ 1 2 π 欧式期权定价基本原理及其计算公式 欧式期权定价基本原理及其计算公式 e − ϵ 2 2 d ϵ \int _a^<\infty>e^ \frac<\sqrt<2\pi>>e^>d\epsilon ∫ a ∞ ​ e m + λ ϵ 2 π ​ 1 ​ e − 2 ϵ 2 ​ d ϵ 令 ϵ = x \epsilon = x ϵ = x
⇒ ∫ a ∞ 1 2 π e − ( x − λ ) 2 2 e λ 2 + m \Rightarrow \int _a^ <\infty>\frac<\sqrt<2\pi>>e^\frac<-(x-\lambda)^2>e^<\frac<\lambda>+m> ⇒ ∫ a ∞ ​ 欧式期权定价基本原理及其计算公式 2 π ​ 1 ​ e 2 − ( x − λ ) 2 ​ e 2 λ ​ + m 令 y = x − λ y = x-\lambda y = x − λ ⇒ ∫ a − λ ∞ 1 2 π e − y 2 2 e λ 2 2 + m d y (0) 欧式期权定价基本原理及其计算公式 \Rightarrow \int_^ <\infty>\frac<\sqrt<2\pi>>e^>e^<\frac<\lambda^2 >+m>dy \tag 0 ⇒ ∫ a − λ ∞ ​ 2 π ​ 1 ​ e 2 − y 2 ​ e 2 λ 2 ​ 欧式期权定价基本原理及其计算公式 + m d y ( 0 )
所以，式（0）也是服从标准正态分布 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N ( 0 , 1 ) 的
所以原式= e λ 2 2 [ 1 − N ( a − λ ) ] = e λ 2 2 + m N ( λ − a ) e^<\frac<\lambda^2>>[1-N(a-\lambda)欧式期权定价基本原理及其计算公式 ] = e^<\frac<\lambda^2>+m >N(\lambda -a ) e 2 λ 2 ​ [ 1 − N ( 欧式期权定价基本原理及其计算公式 a − λ ) ] = e 2 λ 2 ​ + m N ( λ − a )

4.可以将（1）式写为 C = e − r T E Q [ 欧式期权定价基本原理及其计算公式 S T I I S T > = K ] − E Q [ K I I S T > = K ] (7) C = e^E^[S_TII_ =K >] -E^Q[ K_II =K > ] \tag 7 C = e − r T 欧式期权定价基本原理及其计算公式 E Q [ S T ​ I I S T ​ > = K 欧式期权定价基本原理及其计算公式 ​ ] − E Q [ K I ​ I S T ​ > = K ] ( 7 ) 其中 e − r T E Q [ S T 欧式期权定价基本原理及其计算公式 I I S T > = K ] e^E^Q[S_T II_=K>] e − r T E Q [ S T ​ I I S T ​ > = K 欧式期权定价基本原理及其计算公式 欧式期权定价基本原理及其计算公式 ​ ] 等价于

欧式期权定价基本原理及其计算公式

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A期权产品介绍

农户为规避棉花价格下跌给种植带来的风险，通过保险公司购买棉花价格保险，这样便锁定了棉花未来的销售价格。棉企为规避棉花价格上涨给生产经营活动带来的成本风险，通过保险公司购买棉花价格保险，这样便锁定了棉花未来的成本价格。
保险公司卖出保险后，若农产品价格发生不利变化，保险公司需要对农户或棉企进行理赔。但与其他险种不同的是，农业价格保险的理赔率较高，当价格发生大幅不利波动时保险公司将面临巨额赔付风险。为规避巨额赔付风险，保险公司购买由期货公司风险管理子公司提供的场外期权产品进行“再保险”。
期货公司向保险公司卖出期权产品，收取权利金，承担相应的理赔义务。若未来农产品价格发生不利变化，期货公司必须对保险公司进行赔款补偿。
最终，风险通过层层转移传递给期货公司，期货公司则需利用衍生品的特性、专业化的手段在期货市场进行期货交易来对冲风险。

图为项目操作流程
农户想要以较少的费用规避价格下跌风险，而企业则希望固化成本，保证营收，规避价格上涨的风险。因为传统的欧式、美式期权价格较为昂贵，期货公司设计了双向式组合结构化期权产品，此款产品的相关要素见下表：

此款期权产品由看涨和看跌两个平值期权组合而成，这样可以保证双向赔付，棉农和棉企的利益均可得到照顾。其中看跌期权面向棉农，设置目的是帮助棉农规避棉价下跌的风险。看跌期权的赔付额由两阶段组成，第一阶段（1个月）实行欧式期权，在第一阶段到期时，行权价格与当日期货收盘价之差大于0，则差价的1/3为第一阶段赔付额，棉农无权在此时选择终止合同。第二阶段（2个月）实行亚式期权，在到期日时，行权价格与标的资产每日收盘价在最后2个月内的算术平均价格之差大于0，则差价的2/3为第二阶段赔付额。3个月后，总的赔付额是第一阶段加第二阶段赔付额之和，由期货公司赔付保险公司。
看跌期权为保证棉农的收益而设置，当棉价下降时，行权条件即可触发，棉农可得到相应的偿付金额。棉企放弃行权，但可从棉价下跌中得到成本下降的额外收益。计算公式为：赔偿金额=[（1/3）×（行权价格-标的资产在第一阶段末当日收盘价）+（2/3）×（行权价格-标的资产在第二阶段有效期内每日收盘价的算数平均价）]×投保数量。
看涨期权面向棉企，为保证棉企的收益而设置。该看涨期权分两个阶段，第一阶段为期一个月，为欧式期权。即在第一个月结束时，棉企可选择按月末的收盘价和执行价之差结算收益，同时结束整个保险合同。如果棉企选择继续该合同，则后两个月变为亚式，执行价变为第一个月的月末收盘价。最终收益按后两个月的收盘平均价和执行价之差结算。当棉价上涨时，行权条件即可触发，棉企可得到相应的偿付金额，棉价上涨造成的成本压力将会得到对冲。棉农放弃行权，但可从棉价上涨中得到额外收益。计算公式为：赔偿金额=[标的资产在第一阶段末当日收盘价-行权价格]×投保数量或[标的资产在第二阶段有效期内每日收盘价的算数平均价-新行权价格]×投保数量。

B定价模型选择

双向式组合结构化期权属于奇异期权，理论上没有解析定价公式。针对这类期权，业内通常采用数值定价方法。数值定价方法主要有二叉树方法、蒙特卡罗模拟法、有限差分法，本方案选择蒙特卡罗方法进行定价，蒙特卡罗模型对于路径依赖型期权及期权回报取决于多个标的数量的期权价值的计算，都有较好的应用。
在风险中性世界中，蒙特卡罗模拟期权定价法的基本思路是：由于大部分期权价值等于期权到期回报的期望值的贴现，因此先模拟风险中性世界中标的资产价格的多种运动路径，然后计算所有路径结果下的期权回报均值，最后用无风险利率贴现就可以得到期权价值。
以该看跌期权为例，期权价值涉及两个状态变量，标的资产价格S和时间t，利率设定为常数，用蒙特卡罗模拟计算期权估值的基本方法为：a——从初始时刻的标的资产价格开始，至到期日，计算标的资产价格均值与行权价的差，至期权到期为止，为S取一条在风险中性世界中跨越整个有效期的随机路径，这是众多路径中的一条；b——计算出这条路径的期权回报；c——用无风险利率贴现，得到这个期权在这条路径下的当前估值；d——重复a、b、c中的操作，得到许多样本结果，即风险中性世界中期权回报的大量可能取值，贴现得到大量期权当前估值；e——计算这些期权当前估值的均值，得到风险中性世界中预期的期权回报值。

C权利金测算

定价过程除了已知的期权类型、行权价、期限等因素外，波动率是一大关键要素。关于波动率选择，我们主要采用历史波动率来对未来波动率进行估计。根据棉花期货合约的历史波动率锥形图，计算得出棉花期货合约长期平均波动率大概处于19%的水平。但从今年4月开始，郑棉1901合约的波动率明显增加，我们预期下半年其波动率保持在该水准是大概率事件，因此，我们取近期的波动率21%为计算期权费的标准。
一般而言，考虑到理论价格并不包括手续费、滑点等对冲成本，且理论定价一定面临波动率估计误差、Gamma风险无法对冲等问题，此外，农产品的价格受天气和政策等不定因素影响较大，这些因素都会影响到期权定价，因此，在实际定价过程中会根据对冲成本大小、未来风险预估对期权价格进行调整。
根据上述场外期权要素、定价模型及模型相关参数设定的描述，可对分段式结构化组合期权权利金进行估算。虽然棉农和棉企投保日期未定，无法确定期权的行权价格，但是该款产品的触碰价格和行权价格有一个固定比例，因此目前可以先确定该款产品的权利金率，权利金=行权价格×权利金率。假设以17000元/吨测算，得到：看跌期权组合的理论权利金为597元/吨，权利金率为3.51%；看涨期权组合的理论权利金为1071元/吨，理论权利金率为7.0%。

D对冲策略及成本

Delta对冲策略
场外期权的价格风险是最主要的风险，本项目主要采用Delta中性对冲方法来规避价格风险，以场内棉花期货合约为对冲工具。对冲频率上，一般采用固定时间间隔对冲方法，每日临近收盘调整期货头寸，使得场外期权与场内期货组合Delta保持中性。但当盘中发生大幅波动行情时，也需要在盘中进行一定的Delta头寸调整。
举例说明，期货公司卖出300张棉花场外看跌期权（合约乘数5吨/张），看跌期权Delta为-0.5，期权头寸Delta为-300×5×(-0.5)=750，每张期货合约Delta为1，则需要-750/(1×5)=-150张期货合约，即要做150张棉花期货空单，才能使Delta保持中性。第二天，由于棉花期货价格上涨，看跌期权Delta变为-0.4，则期权头寸Delta变为-300×5×（-0.4）=600，为保持Delta中性，需要-600/(1×5)=-120张期货合约，因此平仓30张棉花期货空单。
亚式期权对冲成本及测算
亚式期权我们采用Delta对冲策略，根据上述对冲策略，采用蒙特卡罗模拟方法估计卖出亚式期权后的对冲成本，对冲成本包括对冲过程中的期货亏损、滑点冲击等。依据棉花1901期货合约结算价进行估算，分析经过10万次模拟得到的对冲结果可知，看跌期权的理论权利金率3.51%，与10%分位数下的对冲成本较为接近，意味着3.51%权利金率使得期货公司有10%的概率会发生较大亏损。看涨期权的理论权利金率7.0%，与10%分位数下的对冲成本较为接近，意味着7.0%权利金率使得期货公司有10%的概率会发生较大亏损。
E风险因素及控制措施

该项目的主要风险集中在期货公司身上，由于目前国内还未上市棉花场内期权，棉花场外期权的对冲只能通过“复制”的方式来实现，复制过程中存在一定的风险。
风险敞口的存在不可避免
期权定价的原理是以标的资产可以复制期权为基础的，而该复制过程在理论上要求连续复利，但在实际操作中并无可行性。特别是在单边趋势行情中，每次对冲之后将很快再次产生风险敞口。因此以期权定价公式得到场外期权定价很可能无法覆盖对冲过程中的风险暴露。这种风险虽不可避免，但相对可控。
手续费及冲击成本
理论上，对冲频率越高，产生的风险敞口将越小，但对冲频率升高伴随的是手续费及冲击成本的提高。控制措施：通过模拟不同对冲频率下成本的测算，力求兼顾对冲频率和成本之间的均衡。
定价风险
期权定价中最为重要的一环是估计棉花期货未来的波动率，但对未来波动率做出精准的估计是十分困难的，这就带来波动率估计误差风险。如果定价波动率低于未来的实际波动率，则会出现收取的权利金过低、实际对冲成本过高而出现亏损的情况。控制措施是深入研究棉花的基本面和技术面情况，分析棉花期货价格波动率的规律，兼顾短期、长期波动特点，力求以较为准确的波动率进行定价和对冲。
政策风险
目前暂无较好的预测与控制方法，但对策是针对受影响的标的品种场外期权业务暂停新的报价和对冲交易。

欧式期权定价基本原理及其计算公式

内容提要

外汇期权作为一种新兴金融衍生产品，现已成为国际金融市场的重要避险和投资工具。通过合理的数学模型来确定外汇期权的价格，是投资者应用期权锁定外汇敞口、控制利率风险的关键性问题。合理的期权定价的一个重要前提，是对标的物分布作准确描述。该文对三种代表性外汇期权定价模型的原理及适用条件进行简要介绍和论述。

一、二叉树模型

二、Black-Scholes期权定价模型

期权定价模型中最具影响力的当属Black-Scholes模型。作为外汇期权定价模型的基础，该模型由Fischer Black和Myron Scholes于1973年在美国提出，并获得1997年度诺贝尔经济学奖。

三、Garman-Kohlhagen模型

其中，r：本国无风险利率，R：外国无风险利率，C：欧式买权价格，S：现在的即期汇率，E：外汇期权协定汇率，T：距到期日的时间， ：以复利计算的外汇年收益率方差，N(d1)和N(d2)：累积正态分布函数。Garman-Kohlhagen模型的实现需要一定的假设条件：(1)模型中期权的选择必须是欧式期权；(2)市场是完美的，交易成本和税金是零；(3)外汇价格服从几何布朗运动，波动率 恒定；(4)本国无风险利率r、外国无风险利率R和股票收益的变动幅度，在整个期权有效期内是常数。

END

作者：田琦程，江苏银行资金营运中心

原文《外汇期权定价模型比较与应用浅析》全文将刊载于中国外汇交易中心主办《中国货币市场》杂志2020.04总第222期。